René Descartes e Pierre de Fermat
A matemática é uma ciência de cunho exato, mas que, de
acordo com as palavras do meu brilhante professor Michael Souza, é muitos mais
sentimental do que simplesmente exata. De toda forma as abstrações precisam ser
representadas muitas vezes em planos. O usina mostrará os sistemas de
reprodução gráfica em planos: As coordenadas fermatianas (injustamente chamadas
de cartesianas), as coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. As três
ultimas partem de modificações em formas de escrever a primeira e possuem uma
simples modificação em relação ao plano fermatiano. Outras coordenadas, menos
conhecidas são usadas: coordenadas elípticas, parabólicas, hiperbólicas.
Cartesiano? Não! Fermatiano.
Pra começo de conversa a relação entre René Descartes e
Pierre de Fermat era horrível, eles competiam sempre de maneira rigorosa, mas
pra evidenciar os fatos foi René que começou a briga (dá pra imaginar o Fermat
correndo e dizendo: ele que começou mãe, eu só me defendi), de fato Fermat respondia
sempre com um nível de calma impressionante, O nome Cartesiano vem de Cartesius
e é a forma latinizada de Descartes. Acontece que foi fermat o pioneiro a
trabalhar com eixos perpendiculares a descoberta das equações da
reta e da circunferência, e as equações mais simples de elipses, parábolas e hipérboles.
Uma menção honrosa foi o fato de que ao cometer o erro com cálculos
diferenciais e integrais, René terminou com a equação x³ +y³ - 3axy = 0 e, mesmo
sem saber a resposta, desafiou Pierre a representar a reta tangente da equação
no plano cartesiano (embora fosse o plano do próprio fermat), a surpresa foi
que Fermat representou a equação sem grandes dificuldades e batizou seu gráfico
de folium de descartes (folium significa folha).
folium de descartes
O plano.
Contamos com o eixo X (chamado de abscissas) e o eixo Y
(as ordenadas). Por meio de funções das duas variáveis podemos, representar um
ponto X associado a outro(s) Y(s), os pontos (x,y) são chamados de pares
ordenados. Além disso, os eixos tem comprimentos infinitos e no final o plano é
uma grande cruz imensurável que divide a dimensão (plano) em quatro. Cada parte
é então chamada de Quadrante. Da forma que os quadrantes variam de sinal para
números acima de zero (positivo) e abaixo de zero (negativo). A reta X é
horizontal com variação de menor numero a maior da esquerda para direita, e a
de Y é vertical com variação de baixo para cima. Os pontos representados são
tais que:
Coordenadas Polares
Não, nada de pensar em urso polar, ou em frio (Ba dum
tss).
Desenvolvido pelo pai da probabilidade Jacques Bernoulli,
o sistema se baseia em um único eixo, chamado de eixo polar. Os pontos são
construídos através de um tamanho r que representa a reta (coordenada radial) e
um ângulo teta que representa a angulação frente ao eixo polar (ângulo polar ou
azimute). Desta vez o plano é o Euclidiano (Espaço euclidiano é um espaço
vetorial real de dimensão finita munido de um produto
interno).
Através dele, podemos desenhar figuras que expressem
conceitos não abordados na coordenada fermatiana figuras como:
Limaçons (coração) Lemniscatas (infinito)
Rosáceas (flores) Espirais
A terceira dimensão
Até aqui, tudo foi visto com a interpretação de x e y,
uma análise de pontos bidimensional, entretanto para a melhor compreensão dos
próximos sistemas é necessário incluir uma dimensão a mais, a terceira dimensão,
ou o segmento z. A direção de z é complicada de falar, mas seria para cima, o
eixo y agora toma a posição do eixo x enquanto o x se manifesta indo a sua
direção, mais ou menos como se uma reta saísse da tela em direção a você. O
eixo z acaba fazendo uma divisão nova nos quadrantes e originando novos planos.
Estes se chamam Octantes, a área de cada plano é denominada de plano ab, onde
ab são os segmentos que formam o plano. O plano mais importante para estudarmos
as próximas coordenadas é o plano xy ou yx.
Mais ou menos isso aqui.
Coordenadas cilíndricas.
As coordenadas cilíndricas são um aprimoramento das
coordenadas polares, colocando-as uma dimensão acima, os pontos agora que nos
interessam são denominados de ρ (Rô), φ (fi) e z. ρ
representa o comprimento de reta traçado no plano xy, φ representa um ângulo de
deslocamento partindo de x e indo de encontro a y, finalmente, z representa a
distância do ponto real em relação ao plano xy.
As coordenadas cilíndricas são de grande contribuição para
facilitar o cálculo diferencial e infinitesimal.
Coordenadas esféricas.
As últimas coordenadas abordadas são as esféricas, confesso que
foi a que eu menos estudei no curso de
cálculo III e possui um grau de dificuldade mais acentuado (devido a não
interesse tão forte). A ideia aqui é
representar um ponto em um espaço de formato esférico. Na realidade a mudança é
um tanto quanto baseada na cilíndrica, o sistema usa três dimensões (do plano
xyz) e envolve três parâmetros: r (um
comprimento de raio, similar ao ρ, mas em espaço tridimensional), ϴ, um ângulo
que a decomposição de r forma em relação ao plano xy, e ϕ (fi minúsculo) que é
o ângulo que a reta r se situa em relação ao eixo yz). O espaço pode ser
visto como um conjunto de esferas concêntricas, onde o raio serve como
delimitador máximo da superfície de cada esfera e os ângulos determinam a
localização exata dos pontos sobre a superfície. Observe que graficamente r
varia de zero a infinito, ϴ pode admitir toda a volta trigonométrica (0 a 2π) e ϕ vale meia
volta (0 a π).
De polares a conversão para fermatiana é:
![](http://upload.wikimedia.org/math/f/9/2/f920b5066e63546b34520abd4568c92a.png)
![](http://upload.wikimedia.org/math/e/3/6/e3659cff3073f97102d4ad369c4c90f7.png)
![](http://upload.wikimedia.org/math/d/0/6/d061453b9e97cfb3e1ce8b196a14247a.png)
![](http://upload.wikimedia.org/math/0/2/3/023d6a63369f2c59107f80071ff14c97.png)
De cilíndricas a conversão fermatiana é:
![x=\rho \cos(\phi) \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/3/0/0/300f1ff32f318a3d10ceb9d27c8fa868.png)
![y=\rho\ \mbox{sen}(\phi) \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/7/7/0/770c842ade05f7c6b17cf75648c6f548.png)
![z=z \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/b/a/e/bae36dfd0a610aaa3acd7afe612ec9c9.png)
As esféricas são mais complexas em todos os conceitos:
![{x}=r \, \sin\phi \, \cos\theta \quad](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/f/55f7ddb475dd12783c9f798919a5996f.png)
![{y}=r \, \sin\phi \, \sin\theta \quad](http://upload.wikimedia.org/math/f/2/7/f27d32e2b1e59a60a2898ecd497538d2.png)
![{z}=r \, \cos\phi\quad](http://upload.wikimedia.org/math/b/b/f/bbf09f12aa60e7193027b91944717505.png)
Seja como for, o sistema de coordenadas que tinha o intuito de apresentar apenas a explanação de uma ideia, consegue agora materializar quase todo pensamento geométrico.
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