Matemática e Música: De Pitágoras aos dias de hoje

Fechando a semana da matemática temos esse belo trabalho de conclusão de curso (TCC) de Marcos do Carmo Pereira da pós graduação em matemática da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro.

Um estudo da história por trás do conteudo abordado, uma discusão sobre as escalas musicais, funções periódicas e muito mais!

Matemática e Música De Pitágoras aos dias de hoje - Marcos do Carmo Pereira

DVD Escola - Matemática em toda parte

Um documentário/aula muito divertido sobre a matemática na música!

Aproveite o silêncio (Lado B)

Se pudesse ter apenas um sentido, escolheria o ouvido, embora ver, cheirar, falar e tocar sejam essênciais, ouvir é uma dadiva celestial.
Pois ao cair, num desespero voraz, toda a dor e o sofrer no pensar se faz, mas o amparo na voz da mãe acolhe, e faz com que a dor logo melhore.
E em momentos irresponsáveis, de pensamentos frívolos e deploráveis, o conselho do pai fala em voz alta, protege a cria do perigo da mata.
E a voz ecoa no viver do existir, transcendendo as camadas físicas do devir, mesmo que apenas no próprio pensamento, ouvir é o silêncio, o amor e o tormento.
Mesmo no caos com o barulho de balas, com o destruir de vidas e vidraças, é possivel, concentrar-se e ouvir, um coração bate, logo ali.
Existem ainda, mentes tão fortemente expandidas que ouvem a propria voz, ainda que não dita guerrilhando contra todos os sons possíveis tornando como vitória, tesouros inaudíveis.
Mas não há sensação mais clara e radiante quanto a que poucos presenciam na vida avante: São poucos os que guardam consigo, a voz de dizer: eu sou seu amigo.

O silêncio deve ser aproveitado,

como uma medida de percepção.

O silêncio deve ser adimirado,

como um sinal de reflexão.

Aproveite o silêncio (lado A)

Logo após o barulho da cidade, quando o asfalto se cala , só resta o zumbido que permeia na eternidade, quando o silêncio é a única fala.
O mesmo que amedronta e provoca o delírio, esconde dores e falseia um tranquilo estar, o silêncio envolve a vida em martírios, mas liberta o ser do falar.
É difícil sua convivência, mente fracas padecem, o silêncio deprime a alma elouquece, muito mais perigoso é quandoo impõem, não há mente que do sofrimento esquece.
Depois de convivido com o silêncio infernal, o ser, se sobrevive, torna-se impenetrável, não há barulho que o ofenda ou faça mal, nada machuca a ferida de um silêncio inabalável.
Depois de muito tempo eis que a alma acostuma, e o silêncio passa a ser amado, para alguns ele pode ser até ensinado, desde que do perigo se assuma.
No final ele é necessário e muitas vezes lembrado: remédio desejado por todas as mentes inquietas, veneno evitado de todas as almas, um fardo, mas estudado por todas as mentes espertas.
Não há fuga, ele invade todos os lugares, como o escuro da palpebra e o vazio da matéria, o silêncio invade, consiste e reverbera, da melodia mais linda até o choro mais audaz.
O silêncio deve ser aproveitado, como uma medida de percepção. O silêncio deve ser adimirado, como um sinal de reflexão.

A melodia dos números

Você gosta de música? certamente mesmo que não seja um ouvinte constante, alguma melodia deve fazer parte da sua vida. Momentos em família, com os amigos ou até mesmo apenas consigo são decorados muitas vezes por música!

Além disso existem os mais variados gostos: da clássica ao rock, do pop ao forró, do eletrônico ao reggae! Música é uma expressão da alma ou simplesmente a manifestação de uma emoção! Mas e se houvesse algo além de toda essa música? algo que estivesse presente na raiz da ideia do que se tornou o que chamamos de música? Se você leu o título, você já sabe a resposta!

Pensando em como algo tão antigo está sempre presente conosco e muitas vezes passa desapercebido do raciocinio, o Usina apresenta a semana da matemática, com o tema a melodia dos números!

Como começou?

Para respondermos isso, precisamos voltar a grécia em tempos muito mitológicos... Naquela época Orfeu, filho de Calíope e Apolo, era o melhor poeta e o mais brilhante músico com a harpa que seu pai havia lhe dado. Conta-se que arvores se curvavam, feras se acalmavam e até mesmo pedras moviam de lugar de acordo com o talento do músico. No ponto de vista mais concreto, o fato de contar já é extremamente antigo, como poderiam essas duas coisas terem se unido, isto é, a divinal música com a fria matemática?

Pitágoras

Começou com Pitágoras, Arquitas, Aristoxeno e Erastóstenes. Esse teóricos estudavam a música e procuraram estabelecer uma escala musical (cada um da sua maneira), Aristoxeno e Erastóstenes pensaram de maneira similar entre si, enquanto Arquitas, ainda que com medições diferentes, elaborou um raciocionio parecido com o de Pitágoras.

Pitágoras simplesmente fixou uma corda entre dois pontos fixos, deixando-a esticada, percebeu que seu dedo ao puxar a corda exercia uma certa vibração e mais do que isso, fazia um certo som. Pensativo sobre isso, resolveu então colocar um terceiro ponto fixo, equidistante dos dois primeiros, e observou sons diferentes. Nasceu o instrumento monocórdio e uma nova área da matemática: a música!

"Pitágoras observou que pressionando um ponto situado a ¾ do comprimento da corda em relação a sua extremidade – o que equivale a reduzi-la a ¾ de seu tamanho original – e tocando-a a seguir, ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda inteira. Exercida a pressão a 2/3 do tamanho original da corda, ouvia-se uma quinta acima e a ½ obtinha-se a oitava do som original.
A partir desta experiência, os intervalos passam a denominar-se consonâncias pitagóricas. Assim, se o comprimento original da corda for 12 e se a reduzirmos para 9, ouviremos a quarta, para 8, a quinta, para 6, a oitava."  Só matemática

A escala músical

Partindo da ideia de Pitágoras, os chineses construiram sua própria escala musical. Eles usaram o mesmo processo de corda, tocando a nota equivalente ao dó, mas ao invés de dividir ao meio, eles resolveram dividir em três partes, a nota resultante foi o sol. Notaram uma harmonia nos dois sons (isso significou para eles que 1/3 era uma boa medida para a construção da escala) e dividindo de novo obtiveram o ré, mais uma vez com o lá e finalmente com o mi. No próximo experimento eles obtiveram a nota si, que soou terrível para a harmonia com o dó (o desconforto era causado pela distância entre elas, o que conhecemos como semi tom).

O Monocórdio

Provavelmente os chineses acharam que não haveria mais harmonia depois do si e resolveram manter a escala com apenas 5 notas, a chamada Pentatônica. A pentatônica prosperou na cultura chinesa e até hoje é usada como boa opção para melodias.

No ocidente as coisas seguiram um rumo diferente. Perceberam que a distância não era abrangente o suficiente e resolveram fazer uma escala mais abragente usando a ideia de semi tons e tons. Partindo da distância de só para si descobriram que multiplicando a frequência da nota si por 1,0595 temos a frequência correspondente ao dó. As notas que tinham as distâncias de um tom foram divididas pela nota anterior sustenida (que ganhou o simbolo ' # '). Surgiu assim a escala cromática com 12 notas:

- Dó - Dó# - Ré - Ré#- Mi - Fá - Fá# - Sol - Sol# - Lá - Lá# - Si

Frequência (Si): 246,9 Hz
Frequência (Dó): 261,6 Hz
Multiplicando a frequência da nota Si por 1,0595 teremos:
246,9 x 1,0595 = 261,6 Hz (nota Dó)

Não tão simples assim...

Engana-se aquele que pensa a matemática na música é resumida apenas em divisões e multiplicações... As séries de fourier são vistas para a descrição do movimento de uma corda, nelas o comportamento pode ser descrito pela seguinte equação:

Para quem não sabe o simbolo que se assemelha a letra E é um somatório e ele indica, nesse caso que o comportamento de uma só nota é dado pela sobreposição de outros movimentos, outros sons que se combinam para fazer uma só nota.

E no mundo atual você provavelmente deve curtir uma música no seu computador ou na internet, certo? Pois bem algumas músicas tem cerca de 8~12 megabytes de tamanho e com isso você pode armazenar muitas delas, graças também a Fourier é que você pode fazer isso. Ele percebeu que ondas mais complexas podem ser resultado da combinação de qualquer quantidade de ondas simples, com isso os calculos mais complexos puderem ser analisados pela sua transformada:

Mas no que isso se relaciona com seu MP3? Simples, a transformada de fourier é aplicada de maneira digital para retirar as ondas mais despreziveis e aquelas que nossa audição não capta, com isso é que nos podemos ouvir arquivos de músicas com tamanhos de armazenamento tão pequenos.

Uma forma de pensar

Mais do que apenas cálculo, a música é algo tão forte que é até mesmo um tipo de inteligência. Esta é a chamada inteligência musical. Olha só a definição segundo o site Educare:

"Os jovens com inteligência musical gostam de estar rodeados de som. Gostam de estudar com música. Ouvem muita música e aprendem facilmente canções e ritmos. No seu pensamento surgem muitas vezes ritmos e melodias. Possivelmente cantam com frequência e/ou tocam/querem aprender a tocar um instrumento. Poderão também gostar de assobiar e de cantarolar. Gostam mais de contar histórias do que de as ler. Podem gostar de marcar ritmos com o corpo, por exemplo, com o pé, ou batendo com um lápis ou uma caneta."

A música é muito mais do que apenas ouvir ou escutar, é uma forma de expressar a existência humana, uma ligação perfeita entre a matemática e o ser enquanto humano. É impossível acreditar que a matemática seja uma ciência fria e bruta se ela está por debaixo dos panos de uma forma de arte tão enaltecedora.